Dari sebuah persamaan kuadrat dapat ditentukan akar-akarnya yaitu x1 dan x2. Nama lain kadang diberikan untuk x1 dan x2 ini seperti α dan β atau p dan q bisa juga yang lain. Dari akar-akar yang telah diketahui ini dapat dibentuk suatu persamaan kuadrat yang baru yang berhubungan dengan kedua akar sebelumnya. Proses ini dinamakan menyusun persamaan kuadrat yang baru.
CONTOH :
Soal No. 1
Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar 3 dan 4. Tentukan persamaan kuadrat tersebut!
Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar 3 dan 4. Tentukan persamaan kuadrat tersebut!
Pembahasan
Jika x
1 dan x2 adalah akar-akarnya, maka persamaan kuadrat tersebut dapat dicari dengan rumus berikut ini:x
2 -(x1 + x2)x + x1x2 = 0
Dari soal x1 = 3
dan x2 = 4 maka persamaan kuadrat tersebut adalah:
x
2 – (3 + 4)x + (3)(4) = 0xx
2 – 7x + 12 = 0
Bagaimana jika anda lupa rumus ini?
Ingat saja prinsip dalam penentuan akar pada pemfaktoran.
x = 3 tentu berasal dari faktor (x – 3)
x = 4 tentu berasal dari faktor (x – 4)
Sehingga jika disusun persamaan kuadrat itu dengan mengalikan kedua faktornya:
(x – 3)(x – 4) = 0
x
2 -4x – 3x + 12 = 0xx = 3 tentu berasal dari faktor (x – 3)
x = 4 tentu berasal dari faktor (x – 4)
Sehingga jika disusun persamaan kuadrat itu dengan mengalikan kedua faktornya:
(x – 3)(x – 4) = 0
x
2 -7x + 12 = 0
Soal No. 2
Suatu persamaan kuadrat akar-akarnya adalah 2 dan 1/3. Tentukan persamaan kuadrat tersebut!
Pembahasan
x
1 = 2x
2 = 1/3Masukkan rumus menyusun persamaan kuadrat:
x
2 -(x1 + x2)x + x1x2 = 0
x2 – (2
+ 1/3)x + (2)(1/3) = 0
x
2 – 7/3 x + 2/3 = 0Kalikan semua suku dengan 3 untuk menghilangkan bentuk pecahan yang ada menjadix
3x
2 – 7x + 2 = 0
Bagaimana mengerjakannya dengan kembali
ke faktor-faktornya?
x = 2 tentu berasal dari faktor (x – 2)
x = 1/3 tentu berasal dari faktor (x – 1/3)
Kalikan:
x = 2 tentu berasal dari faktor (x – 2)
x = 1/3 tentu berasal dari faktor (x – 1/3)
Kalikan:
(x – 2)(x – 1/3) = 0
x
2 -1/3 x – 2x + 2/3 = 0Kalikan 3 semua menjadi:x
3x
2 – 1 x – 6x + 2 = 03x
2 – 7x + 2 = 0
Diperoleh hasil yang sama
Soal No. 3
Diketahui α dan β adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x
2 – 2x – 15 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah α + 2 dan β + 2 !
Pembahasan
Jika PK yang ada bisa difaktorkan dengan mudah faktorkan saja dahulu.
x
2 – 2x – 15 = 0(x – 5)(x + 3) = 0
x = 5 atau x = -3
Sehingga α = 5 dan β = -3
Persamaan kuadrat baru yang minta dibentuk
memiliki akar-akar:
x
1 = α + 2 = 5 + 2 = 7xx
2 = β + 2 = -3 + 2 = -1Sehingga dengan rumus menyusun persamaan kuadrat:
x
2 -(x1 + x2)x + x1x2 = 0x
2 -(7 + (-1))x + (7)(-1) = 0x
2 -6x -7 = 0
Soal No. 4
Diberikan persamaan kuadrat:
2x
2 + 5x -7 = 0Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat di atas, tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya α + 1 dan β + 1 !
Pembahasan
Untuk PK yang susah difaktorkan, gunakan sifat jumlah dan hasil kali akar-akar saja. Meski belum diketahui besarnya masing-masing akar, namun soal tetap dapat diselesaikan.
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK:
x
1 + x2 = -b/axx
1x2 = c/a
Sehingga:
α + β = -b/a = -5/2
αβ = c/a = -7/2
α + β = -b/a = -5/2
αβ = c/a = -7/2
Menyusun persamaan kuadrat yang diminta
dengan akar-akar α +1 dan β + 1
x
2 -(x1 + x2)x + x1x2 = 0xx
2 -(α + 1 + β + 1)x + (α + 1)(β + 1) = 0x
2 -(α + β + 2)x + αβ + α + β + 1 = 0x
2 -(-5/2 + 2)x + (-7/2) + (-5) + 1 = 0
Kalikan 2
2x
2 + x – 7 – 5 + 1 = 02x2x
2 + x – 11 = 0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar