pythagoras

RUMUS PYTHAGORAS
Rumus pythagoras sering digunakan untuk menghitung bangun ruang yang memerlukan ukuran yang berkaitan dengan siku-siku. Seperti gambar di atas merupakan rumus  pythagoras yang akan mencari panjang sisi-sisi segitiga yang belum diketahui. Contoh
1. Diketahui sebuah segitiga siku-siku. Sisi siku-sikunya adalah 5 cm dan 12 cm hitunglah panjang sisi miringnya?
Jawab
a = 5 cm
b = 12 cm
c = ?
c = akar dari 5 dikuadratkan di tambah 12 di kuadratkan
c = akar 25 +144
c = akar 169
c = 13 cm.

Materi Ajar

LINGKARAN

Pada umumnya rumus lingkaran matematika untuk sekolah dasar ataupun menengah adalah berkisar tentang rumus untuk mencari luas lingkaran, keliling, jari-jari, garis tengah dan luas tembereng. Untuk menghapal beberapa rumus pada lingkaran tersebut sebenarnya tidaklah susah. Karena menurut saya rumus-rumus tersebut masih tergolong sederhana. Yang lebih baik bagi anda harusnya memahami terlebih dahulu latar belakang rumus tersebut kemudian rajin latihan soal. 

Walaupun anda baru mengerti sedikit mengenai studi matematika tertentu, ada baiknya anda sering-sering membuat dan menjawab soal sendiri. Setelah anda bisa menyelesaikan soal yang sederhana, kemudian anda bisa untuk membuat contoh soal yang lebih komplek dan rumit. Hal ini supaya anda bisa memahami dan meyakini dengan pasti rumus yang ada di kepala anda.

Jadi rumus-rumus menghitung lingkaran secara sederhana adalah sbb :

Rumus untuk menghitung luas : pi x jari-jari x jari-jari

Rumus untuk menghitung keliling : 2 x pi x r

Rumus untuk menghitung jari-jari (bila luas diketahui) = akar dari (Luas / pi)

Rumus untuk menghitung jari-jari (bila keliling diketahui) = K / (2.pi)

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

BAB 1
Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik
1.1. Fungsi
Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran
lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi
besaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur.
Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan
y = f (x) (1.1)
Perhatikan bahwa penulisan y = f (x) bukanlah berarti y sama dengan f
kali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x
yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y
akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai.
y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan menjadi peubah-takbebas
(y) dan peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatu
besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan.
Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai
yang dimiliki x.
Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah
sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda.
Kita ambil contoh dalam relasi fisis
LT L0 (1 T) = + λ
dengan LT adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L0 adalah
panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai
panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi
temperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makin
panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi.
Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan
bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturnya.
Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas,
sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus
ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi.

ALJABAR

Soal Terbimbing Untuk Pemahaman :
1. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut :

a.7x + 3x

b.5a + 3b + a – 5b

c. (-3y² + 2y – 4) + (2y² – 3y + 5)

d. (2p³ + p – 5) – (2p² + 3p – 4)

Penyelesaian :
a. 7x + 3x = ( .7. + .3. )x = ….
b. 5a + 3b + a – 5b = … + … + … + … = ( … + … )a + ( … – … )b = … ….
c. (-3y² + 2y – 4) + (2y² – 3y + 5) = … …. … … … …

= ( … ….)y² + ( … …)y + ( … …)
= … …. …

d. (2p³ + p – 5) – (2p² + 3p – 4)       = … …. … … … …

= … …. ( … …)p + ( … …)

= … …. … …

2.    Tentukan hasil perkalian berikut :

a.    5a  x  2b

b.    -3p x 4p

c. 

d. 6ab² x -2a³b x 4b²

Klik di samping untuk download  OPERASI ALJABAR.doc

Penyelesaian :

a.    5a  x  2b = 5 x a x 2 x b = 5 x 2 x a x b = ….
b.    -3p x 4p = …  x  …  x  …  x  … = …  x  …  x  …  x  … = ….
c. = …  x  …  x  …  x   …  x  …  x  …

= …  x  …  x  …  x   …  x  …  x  …     =  …….

d.      6ab² x -2a³b x 4b² = … x … x … x … x … x … x … x …

= … x … x … x … x … x … x … x …

=       ….       x     …    x     ….

=    ……

3.    Jabarkan kemudian sederhanakan :

a.    3(2p – 3r)

b.   2(p – q) + 3p(p+q)

c. 3a(a – b) – 5(a² – 2a + b)

4.    Jabarkan dan sederhanakan :

a.    (x – 3)(x + 1)

b.    (2s + t)(3s – 5t)

c.    (a² + a)(3a + 2)

5.    Jabarkan dan sederhanakan :

a.    (2a + 1)²

b.    (10b – 2)²

c.    (-3n – 2m)²

Penyelesaian :
3.      a.    3(2p – 3r)     = 3x²p +3x(-3r)   = ….       ….

b. =  …   …   …   … =  …   …   …   … =    …        …

c.   (-3n – 2m)² = …    …        ….      ….    ….   =  …   ….   ….   ….   …..

=     ….         …..     …..
4.       a.    (x – 3)(x + 1)     =  …   …   …   …   …    =  …   …   …

b.    (2s + t)(3s – 5t)     =  …   …   …   …   …     =  …   …   …

c.    (a² + a)(3a + 2)     =  …   …   …   …   …     =  …   …   …

5.      a.    (2a + 1)² = (2a + 1)(2a + 1)     = …  +  …  +  …  +  …     = …  +   …   +  …

b.    (10b – 2)² = (10b – 2)(10b – 2)         = …  +  …  +  …  +  …

= …  +   …   +  …

c.    (-3n – 2m)² = (-3n – 2m)(-3n – 2m)           = …  +  …  +  …  +  …

= …  +   …   +  …

Soal Latihan 1 :
1.    Sederhanakan :

a.    a(a – b) – b (b – c) – c(c – a)

b.    p² +  p – 3 – p(p – 2) + 2p(3p + 1)

2.    Jabarkanlah :

a.    (2x + 3)(3x – 2)

b.    (2x² – 5)(3x² – x +2)

3.    Jabarkanlah :

a.    (3x + 2)²

b.    (4p – ½)²

4.    Jabarkan kemudian sederhanakan :

a.    2(x + 2)² – (x + 1)²

b.    -3ab(2a² + 4ab – 5b²)

5.    (3x + 2y)² – (2x – 5y)²
2.    Pembagian pada bentuk aljabar Selesaikan pembagian berikut :

a.    12ab : 3a

b.    16x²y³ : 12x³y

c.     

Penyelesaian :
a.    12ab : 3a = (12 : 3) x (a : a) x b = …..  x  ….  x  ….. = ……………….
b.    16x²y³ : 12x³y  =( ….  :  .…) x ( .… : .…) x ( .… : .…)

=  …….  x   ………  x  ……… =  …………..

c.    =  ) : ……… = ( …. : ….) x ( …. : …. ) = ……  x  …… = ………..

Menentukan Faktor-faktor Bentuk Aljabar Memfaktorkan suatu bentuk aljabar artinya adalah mengubah bentuk penjumlahan/pengurangan suku-suku menjadi bentuk perkalian dari factor-faktornya. Perkalian bentuk aljabar terdiri dari 5 macam, yaitu :

1.    Bentuk aljabar yang memiliki factor persekutuan, contoh : Faktorkanlah

bentuk :

a.    12x³ + 8x² – 6x

b.    10a²b – 15a³b² + 20a²b²

Penyelesaian :

a.    12x³ + 8x² – 6x = 2.6.x.x.x + 2.4.x.x – 2.3.x

= 2x(6x² + 4x – 3)

b.    10a²b – 15a³b² + 20a²b² = 5.2.a.a.b – 5.3.a.a.a.b.b + 5.a.a.b.b

= 5a²b (2 – 3ab + b)

2.    Pemfaktoran bentuk a² ± 2ab + b²

Rumus : a² + 2ab + b² = (a + b)² a² – 2ab + b² = (a – b)²

contoh : Faktorkanlah :

a.    16x⁴ + 56x²y² + 49y⁴

b.    36a² – 60ab + 25b²

Penyelesaian

a.    16x⁴ + 56x²y² + 49y² = (4x²)² + 2.(4x²).(7y²) + (7y²)²

= ( …  + …)(…  +  …)

b.    36a² – 60ab + 25b² = ( … )² – 2.( … ).( … ) + ( … )²

= ( …  + …)(…  +  …)

3.    Pemfaktoran bentuk selisih dua kuadrat

Rumus : a² – b² = (a + b)(a – b)

Contoh soal : Faktorkanlah :

a.    y² – 144

b.    9x² – 64

c.    3a² – 48

Penyelesaian :

a.    y² – 144 = (y)² – (12)² = (y + 12)(y – 12)

b.    9x² – 64 = (3x)² – (8)² = ( …  + … )( … – … )

c.    3a² – 48 = 3(a² – 16) = 3{( … )² – ( … )²)

= 3( … + … )( … – … )

4.    Pemfaktoran bentuk : x² + bx + c , dimana b dan c bilangan real

Rumus : x² + bx + c = (x + p)(x + q) dimana b = p + q dan c = p x q

Contoh soal :

Faktorkanlah :

a.    m² – 15m + 14

b.    x² + 16x – 36

c.    X² – 5xy – 24y²

Penyelesaian :

a.    m² – 15m + 14 = (m – 1)(m – 14)

b.    x² + 16x – 36 = (x + …)(x – …)

c.    x² – 5xy – 24y² = (x + …)(x – …)

5.    Pemfaktoran bentuk : ax² + bx + c dimana a,b, dan c bilangan real & a ≠ 1

Cara penyelesaian : terlebih dahulu “ bx “ diuraikan menjadi dua suku dengan aturan : ax² + bx + c = ax² + rx + sx + c, dimana r dan s adalah dua bilangan dengan syarat jika dikali hasilnya = a x c dan jika dijumlah = b.  r x s = a x c dan r + s = b

Contoh soal :

Faktorkanlah :

a.    5x² + 13x + 6

b.    10p² – 7p – 12

c.    8x² – 26xy + 15y²

Penyelesaian :

a.    5x² + 13x + 6     = 5x² + 10x + 3x + 6

= 5x(x + 2) + 3(x + 2)

= (x + 2)(5x +3)

b.    10p² – 7p – 12  = 10p² + ….  – ….  – 12

= … ( … + … ) – … ( … + … )

= ( …. + …. )( …. – …. )

c.    8x² – 26xy + 15y² = 8x² – ….  – ….  + 15y²

= … ( … – … ) – … ( … – … )

= ( …. – …. )( …. – …. )

Soal Latihan 2 :

Faktorkanlah selengkapnya :

1.    8p²q – 12pq²

2.    3abc + 6ab – 9bc

3.    y⁴ – 16

4.    2x⁴ – 32

5.    p⁴ – (2p – q)²

6.    n² – 14n + 24

7.    x² – 5px + 6p²

8.    2x² + 7x + 6

9.    6y² – y – 2

10.    2x² – 5px + 3p

LATIHAN ULANGAN BAB 1

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!

1.    Bentuk paling sederhana dari 5x + 3y – 2 – x + y + 2 adalah …

a.    4x + 3y        c. 4x + 3y – 4

b.    4x + 4y       d. 4x + 4y – 4

2.    Jumlah dari 2p + 3q – 4 dan p – 3q + 2 adalah ..

a.    2p – 2         c. 2p – 6

b.    3p – 2        d. 3p – 6

3.    Hasil pengurangan 6a² – 12a dari 7a² + 2a adalah …

a.   –a² – 14a     c. a² – 10a

b.    –a² – 10a    d. a² + 14a

4.    Hasil dari (p – 3q)(2p – 5q) adalah …

a.    2p² – 11pq – 15q²

b.    2p² + 11pq – 15q²

c.    2p² – pq – 15q²

d.    2p² + pq – 15q²

5.    (3x + 2y)(9x² – 6xy + 4y²) = …

a.    27x³ + 8y³ .

b.    27x³ – 8y³ .

c.    27x³ + 24xy² – 8y³ .

d.    27x³ – 36x²y – 8y³ .

6.    Hasil dari (4p – 5q)² adalah …

a.    16p² – 20pq + 25q²

b.    16p² – 20pq – 25q²

c.    16p² – 40pq + 25q²

d.    16p² – 40pq – 25q²

7.    Hasil dari (–2a –  )² adalah …

a.    4a² – 4 + 1/a2     c. 4a² + 4 +  1/a2

b.    4a² –4a + 1/a2    d. 4a² – 4a +  1/a2

8.    (2a + 3)² – (a – 4)² = …

a.    3a² – 7    c. 3a² + 4a + 25

b.    3a² + 25    d. 3a² + 20a – 7

9.    Pemfaktoran dari 6x²y – 8xy² adalah …

a.    2xy(3x – 4xy)    c. 2xy(3x – 4y)

b.    2xy(3x – 6xy)    d. 2xy(3x – 6y)

10.    Pemfaktoran dari p(x + y) – q(x + y) adalah …

a.    (x + y)(p + q)    c. (x – y)(p + q)

b.    (x + y)(p – q)    d. (x – y)(p – q)

ALJABAR